Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
DOI: https://doi.org/10.46296/yc.v4i7.0034  
OTRA MIRADA A LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EN  
SERIE DE FOURIER  
ANOTHER LOOK AT THE REPRESENTATION OF FOURIER  
SERIES FUNCTIONS  
1
2
3
Rodríguez-Rodríguez Alberto ; Valdés-Tamayo Pedro ; Pino-Tarragó Julio ; Domínguez-  
4
Gálvez Dunia  
1
Docente Universidad Estatal del Sur de Manabí UNESUM. Jipijapa, Ecuador.  
Docente Universidad Estatal del Sur de Manabí UNESUM. Jipijapa, Ecuador.  
Docente Universidad Estatal del Sur de Manabí UNESUM. Jipijapa, Ecuador.  
Docente Universidad Estatal del Sur de Manabí UNESUM. Jipijapa, Ecuador.  
2
3
4
*
Correo: albeto.rodriguez@unesum.edu.ec  
Resumen  
Aprender matemáticas, requiere de razonamiento, de desarrollo del pensamiento lógico, algorítmico y  
ordenado. Algunos estudiosos de estas ciencias duras la identifican como la ciencia que necesita de los  
patrones. Cuando se trabaja con sucesiones y series, se reconocen patrones, por eso es tan importante  
hacerlo desde una posición constructivista, involucrando al aprendiz en la construcción y reconstrucción de  
su propio aprendizaje, proporcionando la importancia que requieren las conexiones entre conocimientos ya  
adquiridos y los nuevos por aprender, demostrando la utilidad práctica y la significación social del contenido.  
En el estudio de series, en la práctica se presentan problemas cuyos modelos son funciones que no son  
continuas o son de una naturaleza que no permiten el uso de las series de potencias. En el análisis de  
funciones, esencialmente en la Ingeniería Civil, se ha profundizado en el estudio de funciones que pueden  
escribirse como una serie de potencias, en muchas ocasiones se obvian otras funciones que describen con  
frecuencia, fenómenos vivenciales, los cuales por su complejidad no son abordados. En consecuencia, esta  
investigación se enfoca a estudiar otro tipo de serie que permite representar una clase más amplia de  
funciones: la serie de Fourier, a partir de la aplicación de métodos tales como: inducción-deducción y  
análisis-síntesis, se analizan las principales definiciones, teoremas y sus demostraciones desde una mirada  
diferente a las tradicionales, métodos que provocaron una asimilación significativamente superior a etapas  
anteriores.  
Palabras clave: convergente, derivada, función, gráfico.  
Abstract  
Learning mathematics requires reasoning, development of logical, algorithmic and ordered thinking. Some  
scholars of these hard sciences identify it as the science that needs patterns. When working with sequences  
and series, patterns are recognized, that is why it is so important to do it from a constructivist position,  
involving the learner in the construction and reconstruction of their own learning, providing the importance  
that the connections between acquired knowledge and new knowledge require for learning, demonstrating  
the practical utility and social significance of the content. In the study of series, in practice there are problems  
whose models are functions that are not continuous or are of a nature that do not allow the use of power  
series. That is why this research focuses on studying another type of series that allows representing a  
broader class of functions: the Fourier series, from the application of methods such as induction-deduction  
and analysis-synthesis, the main definitions, theorems and their proofs from a different perspective than the  
traditional ones, methods that caused a significantly higher assimilation to previous stages.  
Keywords: convergent, derived, function, graphic.  
Información del manuscrito:  
Fecha de recepción: 01 de junio de 2020  
Fecha de aceptación: 09 de julio de 2020  
Fecha de publicación: 10 de julio de 2020  
58  
Rodríguez-Rodríguez et al. (2020)  
1
. Introducción  
serie de Fourier; las condiciones que  
tiene que cumplir una función para  
que se pueda representar en serie  
de Fourier; su representación  
gráfica; las condiciones que tiene  
que cumplir una función para que la  
serie de Fourier generada por ella  
sea convergente y a dónde converge  
la serie de Fourier generada por una  
función que cumple las condiciones  
de Dirichlet.  
Una de las condiciones que debe  
cumplirse para la representación de  
una función en series de potencias,  
es que la función tiene que ser  
infinitamente derivable en un  
conjunto D y esta condición implica  
que la función tiene que ser continua  
en D.  
Como si las dos condiciones  
señaladas en el párrafo anterior no  
fueran lo suficientemente restrictivas  
para representar una función en  
series de potencias, en muchos  
casos la serie de potencias obtenida  
a partir de una función no converge  
a la función que la genera. Para que  
esto ocurra todas las derivadas de la  
función tienen que estar acotadas en  
D.  
2. Desarrollo  
La enseñanza de las matemáticas en  
el nivel universitario, necesita de la  
contextualización del contenido a  
partir de profundizar en el desarrollo  
del pensamiento lógico, algorítmico y  
ordenado, se precisa de la utilización  
de modelos rigurosos que se  
desplieguen a partir de un orden  
secuencial, precisado los resultados  
de aprendizaje por los documentos  
normativos nacionales para las  
Sin embargo, en la práctica se  
presentan problemas cuyos modelos  
son funciones que no son continuas  
o son de una naturaleza que no  
permiten el uso de las series de  
potencias. Es por eso que esta  
investigación se enfoca a estudiar  
otro tipo de serie que permite  
representar una clase más amplia de  
funciones: la serie de Fourier.  
transformaciones  
de  
este  
subsistema, en el cual se declaran  
los fines y objetivos de las IES para  
la formación integral de los  
estudiantes y se considera que el  
proceso de enseñanza-aprendizaje  
tiene como centro un estudiante  
activo,  
reflexivo  
crítico  
e
El tema para su total comprensión se  
despliega desde la definición de la  
independiente. (Reglamento del  
Régimen Académico, 2019).  
5
9
Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
T
c+T  
2
.1. Funciones periódicas y  
f (x) dx = f (x) dx  
.
seccionalmente continuas.  
0
c
Por otro lado, se puede construir una  
función periódica repitiendo el  
gráfico en intervalos consecutivo de  
igual amplitud. (Andalucía, 2020)  
Definición 1. Se dice que la función  
f es periódica si existe al menos un  
número real T  0 tal que para  
x  Dom f se cumple que:  
Ejemplo 2. Grafique la función  
f (x +T) = f (x). (González, 1997) (1)  
periódica de período T = 4 definida  
Cualquier número T que cumpla la  
condición (1) se denomina período  
de la función f. El menor de todos los  
períodos se denomina período  
principal.  
2
por f (x) = x para − 2  x  2  
.
Solución. Para trazar el gráfico de f  
hay que trasladar el arco de la  
2
parábola f (x) = x ubicado en el  
intervalo [−2; 2] hacia la derecha y  
Ejemplo 1. Las funciones y = sen x  
y
hacia la izquierda en intervalos  
y = cos x son funciones periódicas  
de período T = 2 , pues se cumple  
consecutivos  
de  
amplitud  
4.  
Analíticamente,  
que  
sen(x + 2) = sen x  
y
cos(x + 2) = cosx  
.
2
(
x + 4) para − 6  x  −2  
Una propiedad importante de las  
funciones periódicas es que es que  
su gráfico tiene la misma forma en  
cada intervalo de amplitud igual al  
período. Esto permite estudiar  
dichas funciones en uno de esos  
2
f (x) =  
x
para − 2  x  2  
2
(
x − 4) para 2  x  4  
y su gráfico es el siguiente:  
intervalos  
y
los  
resultados  
transferirlos al resto del dominio.  
Por ejemplo, la integral de una  
función periódica tiene el mismo  
valor en cualquier intervalo de  
amplitud igual al período, o sea, para  
todo número real c se cumple que:  
Ilustración 1. función periódica de período T = 4  
2
definida por f (x) = x para − 2  x  2  
Fuente: Autores.  
.
60  
Rodríguez-Rodríguez et al. (2020)  
Definición 2. Se dice que una  
función es seccionalmente continua  
en el intervalo [a, b], si f es continua  
en cada punto de [a, b], excepto,  
quizás, en un número finito de  
puntos en los cuales presenta  
discontinuidad finita.  
Ejemplo 4. La función y =1 x no es  
seccionalmente continua en [ 2; 4]  
porque  
en  
x = 0  
presenta  
discontinuidad infinita (Ilustración 3).  
Ejemplo 3. Analice si la siguiente  
función es seccionalmente continua,  
log x +1 si 0  x  3  
3
2
f (x) = (x − 4) si 3  x  5  
6
− x  
si 5  x  6  
Solución. La función es continua en  
los intervalos [0; [, ]3; 5[ y ]5; 6] pues  
en esos intervalos está definida por  
Ilustración 3. Gráfica resultada de ejemplo 4.  
Fuente: Autores.  
las  
expresiones  
2
log x +1, (x − 4) y 6 − x  
,
3
2.2. Series trigonométricas de  
Fourier.  
respectivamente, que son continuas.  
En los puntos x = 3 x = 5 la  
y
Definición 1. Se llama serie  
función es discontinua, pero existen  
los límites laterales (Ilustración 2);  
por tanto, la discontinuidad es finita.  
En conclusión, la función dada es  
seccionalmente continua en el  
intervalo [1; 6].  
trigonométrica  
a
aquella  
de  
funciones que tiene la forma:  
a0  
+
(a cosnx + b sennx)  
,
(1)  
n
n
2
n=1  
donde a , a y b con nN son  
0
n
n
números denominados  
reales,  
coeficientes de la serie.  
Si la serie (1) converge en un punto  
x0 , entonces converge también en el  
punto x0 + 2 porque las funciones  
y = cos nx  
y
y = sen nx son  
Ilustración 2. Gráfica resultada de ejemplo 3.  
Fuente: Autores  
6
1
Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
periódicas de período 2. Por tanto,  
si a cada punto x donde la serie (1)  
es convergente se le asigna la suma  
de dicha serie, entonces se obtiene  
una función  
Ahora bien:  
a0  
a0  
a0  
a0  
dx =  
x
=
[ − (−)] =  
2 = a   
0
2
2
2
2
−  
−
,
1
1
cosnx dx =  
sennx =  
−  
[senn − sen(−n)] = 0  
n
n
−  
a0  
f (x) =  
+
(a cosnx + b sennx)  
,
n
n
,
2
n=1  
(
2)  
sennx dx = 0,  
que es periódica de período 2.  
−  
Porque la función y = sen nx es  
Ahora bien:  
impar.  
1
.- ¿En qué condiciones una función  
Sustituyendo estos resultados en (3)  
se obtiene  
puede generar una serie de Fourier?  
2.-  
¿Cómo  
se  
hace  
dicha  
f (x) dx = a   
,
0
representación?  
−
de donde resulta que:  
3
.- ¿La serie converge a la función  
que la genera en cada uno de  
cada punto donde está definida?  
1
a0 =  
f (x) dx  
.
−
(
4)  
Supongamos que la función f  
representada en la forma (2) es  
seccionalmente continua en el  
Para hallar los coeficientes an se  
multiplica la ecuación (3) por cos nx  
y se integra término a término. Así se  
obtiene:  
intervalo Supongamos  
además que la serie trigonométrica  
del miembro derecho es  
absolutamente convergente.  
[−,]  
.
1
an =  
f (x) cosnx dx  
.
−
(
5)  
Entonces dicha serie es integrable  
término a término y se cumple que  
Multiplicando la ecuación (3) por  
sen nx e integrando término a  
término se obtiene  
a0  
f (x) dx =  
dx + (an  
cosnx dx + bn sennx dx)  
2
−
−  
n=1  
−  
−  
.
(3)  
62  
Rodríguez-Rodríguez et al. (2020)  
−
0
donde  
f (x ) = lim f (x)  
y
1
x→x0−  
bn =  
f (x) sennx dx  
.
+
0
−
f (x ) = lim f (x)  
.
x→x0+  
(
6)  
Las premisas del teorema anterior se  
Las expresiones (4), (5) y (6) fueron  
obtenidas por primera vez por el  
matemático suizo Leonardo Euler  
denominan condiciones de Dirichlet.  
Ejemplo 1. Dada la función periódica  
de período 2 definida por f (x) = x  
(1707-1793). Años más tarde, y de  
manera independiente, fueron  
para −  x    
:
obtenidas por también por el  
ingeniero y matemático francés  
Joseph Fourier (1768-1830). Sin  
embargo, debido a los trabajos  
realizados por este último, a la serie  
a) Trace el gráfico de f.  
b) Pruebe que f genera una serie de  
Fourier.  
c) Determine la serie de Fourier  
generada por f.  
(2) con los coeficientes (4), (5) y (5)  
d) Analice la convergencia de la  
serie de Fourier.  
se denomina serie de Fourier.  
Acabamos de demostrar el siguiente  
teorema. (Piskunov, 1980)  
e) Dibuje el gráfico de la función a la  
cual converge la serie obtenida.  
f) Determine la suma de la serie  
Teorema 1 (de Dirichlet). Sea f  
una función periódica de período 2  
y seccionalmente continua en el  
intervalo [ , ]. Entonces f genera  
una serie de Fourier y se escribe  
para x =   
x =  2 x = 5 3  
, y .  
Solución  
a) El gráfico de la función es el que  
aparece en la figura siguiente.  
a0  
f (x) ~  
+
(a cosnx + b sennx)  
n n  
n=1  
2
.
(7)  
Si además, f (x) es seccionalmente  
continua en [ , ], entonces la serie  
de Fourier generada por  
convergente y se cumple  
f
es  
Ilustración 4. Gráfica resultada de ejemplo 1.  
Fuente: Autores.  
6
3
Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
b) Hay que demostrar que f cumple  
las dos primeras condiciones de  
Dirichlet.  
Haciendo:  
u = x  
du = dx  
1
dv = cosnx dx  v = sennx  
n
Según datos, la función es  
periódica de período 2(Se  
cumple la primera condición).  
1
xsennx  
1
an =  
−
sennx dx  
n
n
−  
−  
 senn − sen(−n)  1  
   
− − cosnx  
1
=
−
2
La función f es continua] ,   
  
n
n
n  
   
−  
[
,
porque en ese intervalo f (x) = x  
1
1
cosn − cos(−n)  
=
0 +   
2
n
que es una función continua. En  
1
x =  presenta discontinuidad  
=
cosn − cosn  
= 0  
.
2
n   
finita, pues se cumple  
1
1
−
bn =  
 f (x)sennx dx = xsennx dx  
f (− ) = lim f (x) = lim (x + 2) =   
x→−−  
x→−−  
−  
−  
,
Haciendo  
u = x  
du = dx  
+
f (− ) = lim f (x) = lim x = −  
,
x→−+  
x→−+  
1
dv = sennx dx  v = − cosnx  
−
n
f ( ) = lim f (x) = lim x =   
,
x→−  
x→−  
− − cosnx dx  
n
−  
1
xcosnx  
1
b = −  
n
+
n
−  
f ( ) = lim f (x) = lim (x − 2) = −  
x→+  
x→+  
1
  cosn − cos(−n) sennx   
.
=
−
+
+
 n    
2
−  
n
n
Por tanto, f es seccionalmente  
continua en [ , ].  
LQQD)  
1
  cosn  cosn senn − sen(−n)  
=
−
−
+
2
n
n
n
(
1
 2 cosn 0 − 0  
− +  
   
2
=
2
n
n   
c) Determinemos los coeficientes de  
Fourier.  
2
n+ 1  
=
− cosn = (−1)  
.
n
n
2
2
2
Por tanto,  
1
1
1 x   
1   
(−)   
a0 =  
f (x) dx =  
x dx =  
=
−
= 0  
2
2
2
−
−  
−  
0
2
2
n+1  
sennx  
n+1  
f (x) ~  
+
(0cosnx + (−1)  
sennx) = (−1)  
.
2
n
n
n=1  
n=1  
1
xcosnx dx  
.
1
an =  
f (x)cosnx dx =  
−  
d) f (x) = 1 para x  (2k +1) y no  
está definida para x = (2k +1)  
k Z ) pero los límites laterales en  
−
(
64  
Rodríguez-Rodríguez et al. (2020)  
estos punto son iguales a 1  
es una serie de senos. Esto no es  
una casualidad; se debe a que la  
función f (x) = x con −  x   es  
(
Ilustración 5). Entonces, f (x) es  
seccionalmente continua en [ , ].  
Por tanto, la serie obtenida es  
convergente y se cumple:  
impar, pues se cumple:  
Teorema 2. Sea f una función  
2
x si x  (2k +1)  
n+1  
periódica  
de  
período  
2  
y
f (x) ~ (−1)  
sennx =   
, k  Z  
n
0 si x = (2k +1)  
n=1  
seccionalmente continua en el  
.
intervalo [-, ]. Entonces  
a0  
f (x) ~  
+
(a cosnx + b sennx)  
,
n n  
n=1  
2
tal que si f (x) es par, entonces  
Ilustración 5. Límites laterales iguales a 1.  
Fuente: Autores.  
2
a0 =  
f (x) dx  
,
e) La función suma de la serie de  
Fourier obtenida es:  
0
2
an =  
f (x) cosnx dx  
y ,  
bn = 0  
0
x si x  (2k +1)  
, k  Z  
(
9)  
S(x) =  
0
si x = (2k +1)  
y si f (x) es impar, entonces  
y su gráfico es el que se muestra en  
la Ilustración 6.  
2
a = a = 0  
y
bn =  
f (x) sennx dx  
.
0
0
n
(
10)  
2.3. Cambio de período.  
Hasta ahora hemos obtenido la serie  
de Fourier de una función  
seccionalmente continua en el  
intervalo [-π, π] y periódica de  
período 2π; sin embargo, en la  
resolución de muchos problemas de  
la ciencia y de la técnica se necesita  
obtener la serie de Fourier generada  
por una función periódica de período  
T  2 . En este epígrafe vamos a  
Ilustración 6. La función suma de la serie de  
Fourier.  
Fuente: Autores.  
f) S() = 0  
S( 2) =  2  
, ,  
S(5 3) = S(2 + 3) = S( 3) =  3  
.
Como se puede observar en el  
ejemplo que acabamos de resolver,  
a = a = 0 y la serie que se obtuvo  
0
n
6
5
Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
2
2
2  
2
2
estudiar la forma de realizar el  
desarrollo de Fourier para tales  
funciones. Para eso comencemos  
con el siguiente ejemplo: (Rodríguez,  
1
1
x
4 − 0  
a =  
f (x) dx =  
x dx =  
=
= 2  
0
20  
2  
0
0
.
2
1
an =  
f (x)cosnx dx  
0
2018)  
2
1
=
x cosnx dx  
.
Ejemplo 1. Representar en series de  
Fourier, la función periódica de  
período 2π, definida por f (x) = x  
0
Haciendo  
u = x  
du = dx  
,
1
para 0  x  2  
.
dv = cosnx dx  v = sennx  
n
Solución  
2
2  
1
xsennx  
sennx  
a =   
−
dx  
n
a)  
Representemos la función f  
n
n
0
0
gráficamente.  
2
1
cosnx  
1
= [0] = 0  
.
0
=
0 +  
2
n
2
1
bn =  
f (x)sennx dx  
0
2
1
=
xsennx dx  
.
0
Haciendo  
Ilustración 7. Gráfica de ejemplo 1.  
Fuente: Autores.  
u = x  
du = dx  
,
1
dv = sennx dx  v = − cosnx  
b) Calculemos los coeficientes. Esta  
n
función, en -2π, π], está definida por  
2
2  
1
xcosnx  
1
bn = −  
+
cosnx dx  
n
n
x + 2 si −  x  0  
0
0
f (x) =  
.
si 0  x    
2  
x
1  2  
1
=
=
−  
+
sennx   
2
n
n
0
Sin embargo, para 0  x  2 la  
función viene dada por f (x) = x, que  
1
2  
2
−
+ 0 = −  
.
n
n
es una expresión más cómoda. Por  
eso, para calcular los coeficientes de  
la serie de Fourier es conveniente  
usar el intervalo [0, 2 ] en lugar de  
Por tanto,  
2
f (x) ~ 2 + (− sennx)  
.
n
n=1  
[
, ]. En efecto:  
66  
Rodríguez-Rodríguez et al. (2020)  
T 2  
c) Analicemos la convergencia de la  
serie obtenida. La derivada de f es  
f (x) = 1 para x  2k , que es  
2
an =  
bn =  
 f (x)cosnx dx ,  
T −  
T 2  
(
3)  
T 2  
seccionalmente continua en [0, 2π].  
Por tanto, la serie es convergente  
para todo número real. La suma de  
la serie S(x) = f (x) = x en los puntos  
2
 f (x)sennx dx,  
T
−T 2  
(
4)  
2  
T
5)  
=
.
donde la función es continua, o sea,  
(
en x  2k, k  Z . Donde la función  
Ejemplo 4. Represente en serie de  
Fourier la función periódica de período  
T = 2 definida por f (x) = | x | para  
es  
discontinua,  
o
sea,  
suma  
1
en  
es  
x = 2k, k Z  
,
la  
1
−
+
S(x) = [ f (2k ) + f (2k )] = [2 + 0] =   
−1 x 1  
.
2
2
En resumen  
Solución. En este ejemplo, T = 2  
y
2
2
x si x  2k  
=  
T
=   
.
f (x) ~ 2 + (− sennx) =  
, k  Z  
n
 si x = 2k  
n=1  
.
a)  
Representemos  
la  
función  
d) Conclusión.  
gráficamente.  
2
x si x  0  
x si x  0  
f (x) = 2 + (− sennx) para  
f (x) =  
.
n
n=1  
−
x  2k, k  Z  
Teorema 1. Sea f una función  
periódica de período T  0  
.
Por tanto, el gráfico queda como sigue  
y
seccionalmente continua en el  
intervalo [0; T ]. Entonces:  
a0  
f (x) ~  
+
(a cosnx + b sennx)  
Ilustración 8. Gráfica de ejemplo 4.  
Fuente: Autores.  
n
n
2
n=1  
,
(1)  
b) Hallemos los coeficientes.  
Observe que f es continua en todo el  
eje real y como además es periódica,  
ella genera una serie de Fourier de la  
forma (1) con los coeficientes (3), (4)  
y (5).  
donde  
T 2  
2
a0 =  
 f (x) dx ,  
T −  
T 2  
(
2)  
6
7
Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
T 2  
1
c)  
La  
derivada  
de  
f
es  
2
a0 =  
 f (x) dx  
= | x | dx  
T −  
−1 para −1  x  0  
1 para 0  x  1  
T 2  
−1  
f (x) =  
, que es  
0
2
1
0
0
1
2
x   
x   
=
=
− x dx + x dx = −  
+
2
2
seccionalmente continua en el  
intervalo [ 1; 1]. Por tanto, la serie  
converge para todo x real.  
−
1
0
−1  
1
2
1
2
+ = 1  
.
T 2  
2
an =  
 f (x)cosnx dx  
T −  
T 2  
Como además f es continua, la serie  
converge a la función para todo  
número real, o sea,  
1
1
=
| x |cosnx dx = 2 xcosnx dx  
.
−
1
0
(
El integrando es par)  
Haciendo  
u = x  
1
f (x) ~ +  
2
4
2
−
cos[(2n −1)x] = | x |  
2
(2n −1)   
n=1  
du = dx  
,
1
d) Conclusión. Cualquiera que sea  
el número real x se cumple  
dv = cosnx dx v =  
sennx  
n  
1
0
1
xsennx  
n  
1
a = 2  
−
sennx dx  
1
x | = +  
2
4
2
n
|
−
cos[(2n −1)x]  
2
(2n −1)   
n  
0
n=1  
1
1
=
=
=
20 −  
(−cosnx)   
2
2
n   
0
3
. Materiales y métodos  
2
(cosn−1)  
2
2
2
n   
Prevaleció en la construcción del  
presente trabajo la utilización de las  
vías inductiva y deductiva, con  
predominio de esta última como  
organización didáctica del sistema  
de conocimientos. Se utilizó la  
Prueba de Mc Nemar para muestras  
relacionadas que permite comparar  
los resultados utilizando los métodos  
de aprendizaje tradicionales y los  
2
n
[(−1) −1]  
2
n   
0
para n par  
.
para n impar  
=
4
2
n   
−
2
T 2  
2
bn =  
 f (x)sennx dx  
T −  
T 2  
1
=
| x | sennx dx = 0  
.
−
1
(
El integrando es impar).  
Por  
f (x) ~ +  
tanto,  
contextualizados.  
utilización de  
Se realza la  
procedimientos  
1
4
2
−
cos[(2n −1)x]  
2
(2n −1)   
2
n=1  
heurísticos para la resolución de  
problemas, aparecen de manera  
.
68  
Rodríguez-Rodríguez et al. (2020)  
implícita las exigencias para el  
aprendizaje desarrollador de la  
asignatura Matemática.  
luego de la aplicación se aumentó  
este nivel al 68,8%. La prueba de Mc  
Nemar para muestras relacionadas  
arrojó una probabilidad inferior a  
4. Discusión de los resultados  
0,05, lo que corrobora la efectividad  
La prueba de Mc Nemar para  
muestras relacionadas, calculado a  
través del auxilio del programa  
estadístico profesional SPSS 11.5  
para Windows, se aplicó a 45  
estudiantes de la Universidad Estatal  
del Sur de Manabí, con el objetivo de  
determinar la efectividad de la  
estrategia didáctica aplicada con el  
despliegue concebido, el en cual  
predomina la construcción del  
aprendizaje por el estudiante.  
de la propuesta.  
Conclusiones  
Los resultados obtenidos apuntan a  
que en la esencia de la interacción  
de la muestra con estas esferas de  
actuación  
se  
han  
producido  
transformaciones  
significativas.  
Según los resultados de la prueba de  
salida, es posible plantear que se  
encuentran evidencias que revelan  
un nivel adecuado del aprendizaje  
contextualizado de los estudiantes.  
Tabla 1. Tabla de contingencia para determinar  
el tipo de aprendizaje en los estudiantes objeto  
de estudio. (Prueba de Mc Nemar para  
muestras relacionadas)  
Tipo de aprendizaje  
Total  
Se demostró la necesidad de  
profundizar en la aplicación de las  
operaciones de cálculo aritmético,  
algebraico y representación gráfica a  
distintas situaciones, sobre la base  
de una comprensión más profunda  
de los procedimientos que se  
emplean, así como de resolver  
problemas aritméticos de la vida  
práctica, de carácter económico-  
social y científico-ambiental, que se  
modelan mediante series.  
Tradicional  
Contextualizado  
20  
Tradicional  
14  
0
34  
11  
Tipo de  
aprendizaje  
Contextualizado  
11  
31  
Total  
14  
45  
p < 0,05 lo que corrobora la  
factibilidad de la propuesta.  
Se evidenció que antes de la  
aplicación de la estrategia didáctica  
existía un bajo nivel de aprendizaje  
contextualizado en los estudiantes  
seleccionados como muestra, pero  
6
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Revista Científica Multidisciplinaria Arbitrada YACHASUN. Volumen 4, Número 7 (jul-dic) ISSN: 2697-3456  
Otra mirada a la representación de funciones en serie de Fourier.  
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